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Définition

On définit l´impulsion de Dirac δ à partir de la fonction impulsion par :

$\delta \left(t\right)=\underset{T\to 0}{lim}{\Pi }_T\left(t\right)$

L´impulsion de Dirac n´est pas une fonction. Sa valeur est nulle partout sauf au point t=0 où elle est indéfini.

Utilisation

L´impulsion de Dirac est une notion mathématique permettant de représenter un phénomène physique de très courte durée (ex. la Flash d´un appareil photo, la foudre, un avion qui passe le mur du son, ...).

Energie du signal

D´après l´expression de l´énergie de la fonction impulsion, on a

E_δ=1

Transformée de Fourier

D´après l´expression de la transformée de Fourier de la fonction impulsion, on a

TF[δ(t)](ν)=1

En effet : $\sin (\pi .\nu .T)\stackrel{T\to 0}{\approx }\pi .\nu .T\Rightarrow \frac{\sin (\pi .\nu .T)}{\pi .\nu .T}\stackrel{T\to 0}{\approx }\frac{\pi .\nu .T}{\pi .\nu .T}=1$

Impulsion de Dirac et produit de convolution

Soit x un signal d´énergie finie. On a :

$\mathrm{TF}(x*\delta )=\mathrm{TF}\left(x\right).\mathrm{TF}\left(\delta \right)=\mathrm{TF}\left(x\right)$

donc

$x*\delta =x$

La distribution de Dirac est l´élément neutre du produit de convolution.

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