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Objectif

La transformation de Fourier a pour objectif d´étudier un phénomène physique en fonction de sa fréquence.
La plupart du temps, la modélisation mathématique d´un grandeur physique est une fonction x du temps t. Or il est parfois plus intéressant de faire une étude fréquentielle et non pas temporelle d´un phénomène physique (ex. : signal audio).
La tronsformation de Fourier consite donc à déterminer une fonction X à variable fréquentielle f (ou ν) qui représente le même phénomène physique que la fonction x à variable temporelle t.

Approche 

L´étude du développement en série de Fourier d´une fonction x, périodique de période T montre que si x satisfait aux conditions de Dirichlet, alors x peut être développé en série de Fourier. On a alors les relations suivantes :

$x\left(t\right)=\underset{n=-\infty }{\overset{+\infty }{\sum c_n.e^{i.n.\omega .t}}}\mid \omega =\frac{2\pi }{T}$

$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T⁄2}^{T⁄2}x\left(t\right).e^{i.n.\omega .t}.\mathrm{dt}\mid n.\omega =2.\pi .n.f=2.\pi .\frac{n}{T}$

Dans cette expression, le terme $\frac{n}{T}$ introduit une notion de distribution fréquentielle discrète car $\frac{1}{T}=f$ et n varie dans $\mathbb{N}$.

Si on considère maintenant que $T\to \infty$, alors la fonction x n´est plus périodique et la distribution fréquentielle devient continue (donc la somme discrète devient une intégrale).
Si on fait en plus un changement de la variable t en $\nu =\frac{n}{T}$, on a $\mathrm{d\nu }=\frac{\mathrm{dn}}{T}\Rightarrow \mathrm{dn}=\mathrm{d\nu }.T$ et l´expression $c_n$ devient $c_{\nu }$ telle que :

$c_{\nu }=X\left(\nu \right)=\underset{T\to +\infty }{lim}\frac{1}{T}{\int }_{-T⁄2}^{T⁄2}\left(t\right).e^{-i.2.\pi .\nu .t}.T.\mathrm{d\nu }={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\left(t\right).e^{-i.2.\pi .\nu .t}.\mathrm{d\nu }$
et
$x\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }X\left(\nu \right).e^{i.2.\pi .\nu .t}.\mathrm{dt}$

Puissance et Energie d´un signal

Connaissant l´expression de la puissance d´un signal périodique et en suivant le même raisonnement que ci-dessus, on définit la puissance d´un signal x quelconque par :

$P_x=\underset{T\to +\infty }{lim}\frac{1}{T}.{\int }_{-T⁄2}^{T⁄2}{\left|x\left(t\right)\right|}^2.\mathrm{dt}$

On déduit l´expression de l´énergie du signal :

  $E_x={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(t\right)\right|}^2.\mathrm{dt}$

Définition

Si le signal x est d´énergie finie, alors on définit sa transformée de Fourier par :

  $X\left(\nu \right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\left(t\right).e^{-i.2.\pi .\nu .t}.\mathrm{d\nu }$

Le terme X(ν) représente le spectre de x(t) et peut s´écrire

$X\left(\nu \right)=\left|X\left(\nu \right)\right|.e^{i.\Phi \left(\nu \right)}$

|X(ν)| est le spectre en amplitude et Φ(ν) est le spectre en phase.

On peut reconstituer le signal x à partir de sa transformée de Fourier X par la relation :

$x\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }X\left(\nu \right).e^{i.2.\pi .\nu .t}.\mathrm{dt}$

Notation

D´un point de vue mathématique, la transformée de fourier d´un signal x est notée
$X=\mathrm{TF}\left[x\right]\Rightarrow X\left(\nu \right)=\mathrm{TF}\left[x\right]\left(\nu \right)$ et $x={\mathrm{TF}}^{-1}\left[X\right]\Rightarrow x\left(t\right)={\mathrm{TF}}^{-1}\left[X\right]\left(t\right)$
mais pour des raisons pratiques, on notera

$X=\mathrm{TF}\left[x\left(t\right)\right]\Rightarrow X\left(\nu \right)=\mathrm{TF}\left[x\left(t\right)\right]\left(\nu \right)$

et

$x={\mathrm{TF}}^{-1}\left[X\left(\nu \right)\right]\Rightarrow x\left(t\right)={\mathrm{TF}}^{-1}\left[X\left(\nu \right)\right]\left(t\right)$

La page suivante résume les propriétés de la transformée de Fourier.

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