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La page précédente donne la définition de la transformée de Fourier d´un signal.

Dans tout ce qui suit, on a TF[x(t)](ν)=X(ν) et TF[y(t)](ν)=Y(ν)
Considérant l´expression de la transformée de Fourier, on montre que

Linéarité

  $\forall \lambda ,\mu \in ℂ;\mathrm{TF}[\lambda .x\left(t\right)+\mu .y\left(t\right)]=\lambda .X\left(\nu \right)+\mu .Y\left(\nu \right)$

Décalage temporel et décalage fréquentiel

 

$\forall t_0\in ℝ;\mathrm{TF}\left[x(t-t_0)\right]=X\left(\nu \right).e^{-2.i.\pi .\nu .t_0}$

(pour effectuer le calcul, il faut faire un changement de variable t-t₀=u)

Par symétrie, on a

$\forall {\nu }_0\in ℝ;\mathrm{TF}[e^{2.i.\pi .{\nu }_0.t}.x\left(t\right)]=X(\nu -{\nu }_0)$

Dérivation

$\mathrm{TF}\left[\frac{d}{\mathrm{dt}}x\left(t\right)\right]=2.i.\pi .\nu .X\left(\nu \right)$

Mathématiquement, le calcul de $\mathrm{TF}\left[\frac{d}{\mathrm{dt}}x\left(t\right)\right]$ fait apparaître une constante $k={[x\left(t\right).e^{-2.i.\pi .\nu .t}]}_{-\infty }^{+\infty }$ (intégration par partie)
En physique, x(t) est nécessairement nulle si $t\to \pm \infty$. Sachant que $e^{-2.i.\pi .\nu .t}$ est bornée, alors k=0.

Dilatation temporel et décalage fréquentiel

$\forall \lambda \in ℝ;\mathrm{TF}\left[x(\lambda .t)\right]=\left|\frac{1}{\lambda }\right|.X\left(\frac{\nu }{\lambda }\right)$

(pour effectuer le calcul, il faut faire un changement de variable λ.t=u)

On déduit pour λ=-1 que

$\mathrm{TF}\left[x(-t)\right]=X(-\nu )$

Conjugaison complèxe

Soit $x^{*}$ le signal conjugué de x

$\mathrm{TF}\left[x^{*}\left(t\right)\right]=X^{*}(-\nu )$

Produit de convolution

Soit deux signaux x et y. On définit le produit de convolution x*y par :

$(x*y)\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\left(\tau \right).y(t-\tau ).\mathrm{d\tau }$

On peut montrer que $(x*y)\left(t\right)=(y*x)\left(t\right)$.

$\mathrm{TF}\left[(x*y)\left(t\right)\right]=X\left(\nu \right).Y\left(\nu \right)$

et

$\mathrm{TF}\left[(x.y)\left(t\right)\right]=X\left(\nu \right)*Y\left(\nu \right)$

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