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Définition 

On définit la série de Fourier par la série de fonction $S_n\left(t\right)=\underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum u_n\left(t\right)}}$ telle que

$u_n\left(t\right)=a_n.\cos (n.\omega .t)+b_n.\sin (n.\omega .t)$

Propriétés

La série de Fourier étant une série de fonction, alors elle est convergeante et

$\forall t\in ℝ,\exists x:ℝ\to ℝ/x\left(t\right)=S_n\left(t\right)=\sum _{n=0}^{+\infty }(a_n.\cos (n.\omega .t)+b_n.\sin (n.\omega .t))$

La convergence de la série $S_n\left(t\right)$ est obtenu par les conditions suivantes :

$\underset{n\to +\infty }{lim}{a}_n=0$ et $\underset{n\to +\infty }{lim}{b}_n=0$

Les expressions $\cos (n.\omega .t)$ et $\sin (n.\omega .t)$ sont périodiques de periode $T=\frac{2.\pi }{\omega }$, alors la fonction $x\left(t\right)$ est également périodique de période $T=\frac{2.\pi }{\omega }$. On peut montrer alors que

$\forall k\in \mathbb{Z},x(t+k.T)=x\left(t\right)\mid T=\frac{2.\pi }{\omega }$

Conditions de Dirichlet

Une fonction x de t vérifie les conditions de Dirichlet si $\forall t_i\in ℝ$

$\underset{t\to t_i^{-}}{lim}x\left(t\right)\in ℝ$ ; $\underset{t\to t_i^{+}}{lim}x\left(t\right)\in ℝ$
$\underset{t\to t_i^{-}}{lim}\frac{\mathrm{dx}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\in ℝ$ ; $\underset{t\to t_i^{+}}{lim}\frac{\mathrm{dx}\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\in ℝ$

On dit que x ext continue et dérivable par morceaux.

En générale, une fonction x représantant un grandeur physique dans le temps vérifie les conditions de Dirichlet

Théorème

Soit x une fonction périodique de période T

Si x vérifie les conditions de Dirichlet, alors x est décomposable en série de Fourier. On a alors :

$x\left(t\right)=S_n\left(t\right)=\sum _{n=0}^{+\infty }(a_n.\cos (n.\omega .t)+b_n.\sin (n.\omega .t))$

La relation ci-dessous est verifié si x est défini au point t. Or il se peut que la fonction x ne soit pas défini au point $t=t_0$ on a alors

$S_n\left(t_0\right)=\frac{1}{2}.(\underset{t\to t_0^{-}}{lim}x\left(t\right)+\underset{t\to t_0^{+}}{lim}x\left(t\right))$

Cette relation est vraie $\forall t\in ℝ$

Coefficients de Fourier

En reprenant la définition de $u_n$ ci-dessus, on a $u_0=a_0$. On peut don écrire

$x\left(t\right)=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }(a_n.\cos (n.\omega .t)+b_n.\sin (n.\omega .t))$

$a_0$ représente la valeur moyenne de la fonction x. En effet, sachant que x est une fonction périodique, sa valeur moyenne se calcule par :

$x_{\mathrm{moy}}\left(t\right)=\frac{1}{T}.{\int }_{\alpha }^{\alpha +T}x\left(t\right).\mathrm{dt}=\frac{1}{T}.{\int }_{\alpha }^{\alpha +T}{a}_0.\mathrm{dt}+\frac{1}{T}.{\int }_{\alpha }^{\alpha +T}\sum _{n=1}^{+\infty }(a_n.\cos (n.\omega .t)+b_n.\sin (n.\omega .t))$

Sachant que

• la somme de l´intégrale est égale à l´intégrale de la somme
• l´intégrale d´un cosinus (ou d´un sinus) sur un période est nulle
• ${\int }_{\alpha }^{\alpha +T}{a}_0.\mathrm{dt}=a_0.T$

On déduit 

$a_0=\frac{1}{T}.{\int }_{\alpha }^{\alpha +T}x\left(t\right).\mathrm{dt}$

De la même manière, en calculant ${\int }_{\alpha }^{\alpha +T}x\left(t\right).\cos (n.\omega .t).\mathrm{dt}$ et ${\int }_{\alpha }^{\alpha +T}x\left(t\right).\sin (n.\omega .t).\mathrm{dt}$, on déduit

$a_n=\frac{2}{T}.{\int }_{\alpha }^{\alpha +T}x\left(t\right).\cos (n.\omega .t).\mathrm{dt}$

et

$b_n=\frac{2}{T}.{\int }_{\alpha }^{\alpha +T}x\left(t\right).\sin (n.\omega .t).\mathrm{dt}$

En reprenant l´expression de u_n, on a :

• $u_0=a_0$ : valeur moyenne de la fonction x
• $u_1\left(t\right)$ : composant fondamental de la série de Fourier
• $u_n\left(t\right)$ : harmonique de rang n de la série de Fourier

La page suivante montre l´utilisation du développement en série de Fourier pour étudier le spectre d´un signal périodique.

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