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La page précédente étudie le développement en série de Fourier d´un signal périodique.

Forme complèxe de la série de Fourier

$u_n\left(t\right)=a_n.\cos (n.\omega .t)+b_n.\sin (n.\omega .t)=a_n.\frac{e^{i.n.\omega .t}+e^{-i.n.\omega .t}}{2}+b_n.\frac{e^{i.n.\omega .t}-e^{-i.n.\omega .t}}{2.i}$

$u_n\left(t\right)=\frac{a_n-i.b_n}{2}.e^{i.n.\omega .t}+\frac{a_n+{i.b}_n}{2}.e^{-i.n.\omega .t}$

Si on pose $c_n=\frac{a_n-i.b_n}{2}$, alors $c_n^{*}=\frac{a_n-i.b_n}{2}$

Les expressions des coefficients de Fourier montrent que $a_{-n}=a_n$ et , donc $c_{-n}=c_n^{*}$.

Le développement en série de Forier de la fonction x peut étre alors défini par :
$x\left(t\right)=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }(c_n.e^{i.n.\omega .t}+c_{-n}.e^{-i.n.\omega .t})=a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }{c}_n.e^{i.n.\omega .t}+\sum _{n=1}^{+\infty }{c}_{-n}.e^{-i.n.\omega .t}$

Or $\sum _{n=1}^{+\infty }{c}_{-n}.e^{-i.n.\omega .t}=\sum _{n=-\infty }^{-1}{c}_{-n}.e^{-i.n.\omega .t}$, on a $x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{-1}{c}_{-n}.e^{-i.n.\omega .t}+a_0+\sum _{n=1}^{+\infty }{c}_n.e^{i.n.\omega .t}$,

En utilisant les expressions des coefficients de Fourier, on déduit l´expression :

  $c_n=\frac{1}{T}.{\int }_{\alpha }^{\alpha +T}x\left(t\right).e^{-i.n.\omega .t}.\mathrm{dt}$

et donc $c_0=a_0$. On peut alors ecrire

$x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{c}_n.e^{i.n.\omega .t}$

Puissance du signal, Théorème de Parseval 

On définit la puissance d´un signal x, périodique de période T par

$P_x=\frac{1}{T}.{\int }_{\alpha }^{\alpha +T}{\left|x\left(t\right)\right|}^2.\mathrm{dt}$

Pour un signal $x_0\left(t\right)=a_0$, on a $P_0={a_0}^2$
Pour un signal $x_a\left(t\right)=a_n.\cos (n.\omega .t)$, on a $P_a=\frac{{a_n}^2}{2}$
Pour un signal $x_b\left(t\right)=b_n.\sin (n.\omega .t)$, on a $P_b=\frac{{b_n}^2}{2}$

En appliquant la loi de conservation de l´énergie, on déduit la relation suivante, appelée Théorème de Parseval :

$P_x={a_0}^2+\frac{1}{2}.\sum _{n=1}^{+\infty }({a_n}^2+{b_n}^2)$

Cette relation indique la distribution de la puissance du signal x sur ses différents composants fréquentiels

Spectre

On peut définir le spectre d´un signal par la représentation de ses composants en fonction de la fréquence.

Pour un signal périodique de période T (et de fréqence f=1/T), sa décomposition en série de fourier fait apparaître des composants sinusoïdaux $u_n\left(t\right)$, ayant une fréquence n.f, d´amplitude proportionnelle à $\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}$ et de puissance proportionnelle à ${a_n}^2+{b_n}^2$

On peut alors parler de spectre en amplitude ou de spectre en puissance

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