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Définition

On définit la fonction porte h_{a, b} par :

h_{a, b}(t)=1 si $t\in [t_a,t_b]$
h_{a, b}(t)=0 si $t\notin [t_a,t_b]$

On définit la longueur de la fonction porte par :

T=t_b-t_a

En particulier, si t_b=-t_a=T/2, on a

h_T=h_{-T/2, T/2}

Si on suppose maintenant t₀=t_a+T/2=t_b-T/2, alors :

h_{a, b}(t)=h_T(t-t₀)

Utilisation

En physique, l´étude d´un signal x en fonction du temps se fait dans un intervale de temps fini. En dehors de cet intervale (temps d´observation), on suppose que le signal est nul. Il faut alors faire l´étude du signal x.h_{a, b}. Cette opération s´appelle fenêtrage.

Energie du signal

D´après l´expression de l´énergie d´un signal, on a

E_h=t_b-t_a=T

En physique, il faut tenir compte de l´unité de x.

Transformée de Fourier

D´après l´expression de la transformée de Fourier d´un signal, on a

$H_T\left(\nu \right)=\frac{\sin (\pi .\nu .T)}{\pi .\nu }$

La fonction H₁ est appelée sinus cardinal.

On appliquant la propriété du décalage temporel, on déduit :

$H_{a,b}\left(\nu \right)=\frac{\sin (\pi .\nu .T)}{\pi .\nu }.e^{-2.i.\pi .\nu .t_0}$

Définition

 

On définit la fonction impulsion Π_T par :

${\Pi }_T\left(t\right)=\frac{1}{T}.h_T\left(t\right)$

Energie du signal

 

D´après l´expression de l´énergie d´un signal, on a

$E_{\Pi }=\frac{1}{T}.E_h=1$

Lénergie d´une fonction impulsion est indépendant de son profondeur.

Transformée de Fourier

D´après la propriété de linéarité de la transformée de Fourier, on a

  $\mathrm{TF}\left[{\Pi }_T\left(t\right)\right]\left(\nu \right)=\frac{1}{T}.\mathrm{TF}\left[h_T\left(T\right)\right]\left(\nu \right)=\frac{\sin (\pi .\nu .T)}{\pi .\nu .T}$

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